Distribuciones continuas

En la unidad  anterior trabajamos con variables aleatorias discretas para estudiar cierto tipo de fenómeno. Por ejemplo, al proponer como experimento el lanzamiento al aire de un dado dos veces, definimos como variable aleatoria al número de veces que se obtenía un as. Los únicos valores posibles para dicha variable eran 0, 1 y 2. No tenía sentido asignarle valores como 0,53 o 1,25.

Sin embargo, supongamos que nos proponemos estudiar otro tipo de fenómeno, como el tiempo necesario para que una reacción química dada se complete, medido en milisegundos. Existen diversos factores por los cuales dicho tiempo de reacción puede ser distinto de un ensayo a otro y tal vez nos interese poder saber cuál es la probabilidad de que la reacción se produzca en un tiempo menor a una cierta cantidad demilisegundos. En este caso, dicho tiempo podría ser de 0,199 o de 0,200 segundos. Es decir: la variable aleatoria con la que hemos de trabajar deberá expresarse como un número real.

Para este tipo de fenómeno bajo estudio habrán de definirse dos funciones: la de densidad de probabilidad y la de distribución acumulativa.

Volviendo entonces al ejemplo que mencionamos anteriormente, supongamos entonces que la función de distribución acumulativa correspondiente a una reacción química dada pudiera expresarse aproximadamente como:

\[{\large f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ 1-e^{-0.01x} \end{array} \right. \begin{array}{l} \text{si } x < 0 \\ \text{si } x \ge 0 \end{array} }\]

Si nos preguntaran entonces cuál es la probabilidad de que una reacción se complete en menos de 200 milisegundos, bastará entonces con calcular:

\[\large{ F(200) = P(X<200) = 1 - e^{-0,01.200}=0,8647 }\]

Si, en cambo se nos pidiera calcular cuál es la probabilidad de que la reacción se complete en un tiempo que oscile entre los 100 y los 200 milisegundos, necesitaremos la función de densidad de probabilidad. Esta, de acuerdo con las definiciones dadas, no es otra cosa que la derivada de la función de probabilidad acumulada, de modo que para el caso sería:

\[{\large f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ 0,01e^{-0.01x} \end{array} \right. \begin{array}{l} \text{si } x < 0 \\ \text{si } x \ge 0 \end{array} }\]

Entonces:

\[\large{ P(100 \le x \le 200) = \int^{200}_{100} 0,01e^{-0,01x} dx = 0,2325 }\]

Seguidamente, estudiaremos una distribución de variable continua cuya función de distribución permite estudiar gran número de fenómenos reales y naturales.

Esta distribución habrá de permitirnos resolver infinidad de problemas. Por ejemplo, se sabe que el tiempo promedio que requiere una célula para dividirse en el proceso de mitosis es de una hora, con una desviación estándar de cinco minutos (recordemos que, matemáticamente, la desviación estándar no era otra cosa que la raíz cuadrada de la varianza).  Nos interesará calcular la probabilidad de que una célula cualquiera se divida en menos de 45 minutos.

El tiempo en que se produce la división será nuestra variable aleatoria, variable que habrá de distribuirse normalmente. De acuerdo con la información de que disponemos, su media será de sesenta segundos, en tanto que su varianza valdrá veinticinco segundos al cuadrado. Para determinar entonces la probabilidad de que el proceso se produzca en una célula tomada al azar en menos de 45 minutos, escribimos:

\[\large{ P(X \le 45) = \int^{45}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi5}}e^{\frac{(x-60)^2}{2.25}}dx }\]

Desde ya, esta integral no habrá de poder resolverse con facilidad. Sin embargo, volveremos a utilizar nuestra planilla de cálculo para alcanzar nuestro objetivo. La función será en este caso DISTR.NORM (ver imagen 6.1). Una vez que se hace clic en “Aceptar” aparece la ventana que se observa en la imagen 6.2. Allí hemos de ingresar el valor de la variable aleatoria, la media y la desviación estándar.

El resultado que acabamos de obtener puede verificarse utilizando el GeoGebra. En la imagen 6.3 se observa no solo el valor de la probabilidad buscada, sino además, la representación gráfica aproximada de la función de densidad de probabilidad característica de toda distribución normal.

La gráfica que corresponde a la función de densidad de probabilidad de esta distribución (a la que suele conocerse como campana de Gauss) tiene por dominio a todo el campo real, se hace asintótica al eje de abscisas para más y menos infinito y presenta un único máximo en correspondencia con el valor de la media de la distribución.

Si nos preguntáramos cuál es la probabilidad de que una célula tomada al azar tarde entre 55 y 65 segundos en dividirse, podríamos comenzar procediendo de un modo similar al ya aplicado. Sin embargo, en la planilla de cálculo no se contempla la posibilidad de trabajar con un intervalo de extremos finitos. Es decir, el límite inferior de integración será siempre menos infinito, tal como se observa en las imágenes 6.4 y 6.5.

Lo que deberíamos hacer entonces es restarle al valor que acabamos de obtener el correspondiente a la probabilidad de que el tiempo en que se produzca la mitosis sea inferior a 55 minutos, que podemos obtener nuevamente utilizando la planilla de cálculo, tal como se observa en la imagen 6.6.

Dicha diferencia puede llevarse a cabo en un único paso, tal como puede observarse en la ventana del extremo superior de la planilla de cálculo de la imagen 6.8.

Si X es una variable aleatoria normal, con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\), entonces la variable \(Z=(X-\mu)/\sigma\) es una variable estandarizada, cuyas unidades son desviaciones estándar. La variable normal estándar Z, tal como la acabamos de definir, ha sufrido un desplazamiento horizontal y un cambio de escala, razón por la cual su media es cero y su desviación estándar uno. La distribución de probabilidades de Z recibe el nombre de distribución normal estándar.

La función de distribución acumulada correspondiente a una variable aleatoria normal estándar se suele expresar de la siguiente manera:

\[\Phi\ (z) = p\ (Z \le z)\]

Al crear una nueva variable Z a partir de otra X, la variable aleatoria Z representa la distancia desde X hasta su media, medida en desviaciones estándar.

En la imagen 6.15 se comparan las distribuciones de la variable original X con la de su variable estandarizada Z.

El resultado puede obtenerse empleando nuestra planilla de cálculo, tal como se observa en la imagen 6.16.

El alumno puede preguntarse qué necesidad existe de estandarizar una variable aleatoria normal. Entre las razones por las cuales el alumno debe manejar el concepto de estandarización podemos mencionar la siguiente: en control estadístico de procesos, existen diversos métodos para la confección de los diagramas de control para la fracción de artículos disconformes con muestras de tamaño variable. De todos esos métodos, el mejor, desde el punto de vista del ingeniero, es justamente el que estandariza dicha fracción disconforme.

Existen experimentos binomiales en los que el cálculo manual de probabilidades requiere de un gran número de operaciones largas y tediosas, razón por la cual buscamos algún mecanismo que nos facilite la tarea.

Se observa que cuando una distribución binomial es simétrica o aproximadamente simétrica respecto de su media, su gráfica de barras se asemeja a la campana de Gauss, típica de la distribución normal. En la imagen 6.17 reproducimos los diagramas de barras de un experimento BernoulliN con p = 0,5. Obsérvese que, para un número de experimentos muy elevado, dicho diagrama se confunde con la clásica campana.

Dijimos anteriormente que, en una distribución normal con media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\), aproximadamente el 99,7 % (es decir, prácticamente toda la distribución) se encontraba entre \(\mu-3\sigma\) y \(\mu+3\sigma\). Si tenemos una distribución binomial cuya media es \(\mu=np\), su desviación estándar será:

\[\large{ \sigma =\sqrt{np(1-p)} }\]

Además, si tenemos en cuenta que los valores de la distribución normal son mayores que cero y menores o iguales a n, entonces deberán cumplirse simultáneamente las siguientes dos condiciones:

\[\large{ 0 \le \mu-3\sigma y \mu + 3\sigma \le n }\]

Es decir:

\[\large{ \begin{gather} \begin{split} & 0 \le np-3\sqrt{np(1-p)}\\ ynp +3 &\sqrt{np(1-p)} \le n \end{split} \end{gather} }\]

Se puede demostrar que, para p≤0,5, ambas desigualdades son equivalentes a np≥4,5 y que, en cambio, sip≥0,5, dichas inecuaciones serán equivalentes a n(1-p)≥4,5.

Teniendo en cuenta lo antedicho, se establece como regla que una distribución binomial se puede aproximar por una distribución normal cuando np≥5 y n(1-p)≥5.

Estrechamente vinculada con la distribución de Poisson que estudiamos anteriormente, la distribución exponencial se suele usar, por ejemplo, para modelar los tiempos de ocurrencia entre dos eventos sucesivos, cuya distribución resulte ser exponencial. El tiempo entre dos llamadas telefónicas sucesivas que entran a un conmutador o entre dos temblores sucesivos en una determinada región son tan solo dos de los muchos ejemplos de aplicación más comunes para este tipo de distribución.

Este tipo de variable aleatoria se caracteriza por lo siguiente:

(i) Su media vale \(\large{ \mu = \frac{1}{\lambda} }\)

(ii) Su varianza vale \(\large{ \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2} }\)

Nótese que tanto la media como la desviación estándar de esta distribución son iguales entre sí e iguales a la inversa de la constante \(\lambda\). Dicha constante recibe el nombre de parámetro de la distribución.