Distribuciones discretas

En la sección 4.1 de la unidad anterior propusimos un experimento consistente en arrojar dos veces un dado para registrar en cada caso si salía o no un as y dijimos que el espacio muestral correspondiente podía expresarse como:

\[{\large S= \{A_1A_2,A_1\overline{A_2},\overline{A_1}A_2,\overline{A_1}\overline{A_2}\} }\]

Recordemos que habíamos definido como \(A_i\) al suceso consistente en que se obtuviese un as en el i-ésimo tiro, mientras que escribíamos \(\overline{A_i}\)  en caso de que no saliera as en ese mismo tiro.

 A cada elemento del espacio muestral le podemos entonces asignar un valor numérico, en correspondencia con el número de veces que se hubiese obtenido un as. Esos valores (0, 1 o 2) son cantidades que quedan determinadas en función del resultado del experimento.

En nuestro ejemplo, la variable aleatoria X representa el número de veces que se obtuvo un as al arrojar dos veces un dado, mientras que x corresponde a cada uno de los valores que aquella variable pueda adoptar. Es decir, con una letra mayúscula habrá de indicarse la variable aleatoria, mientras que con su correspondiente minúscula se expresará cada uno de los valores de aquella. Así, por ejemplo, la variable aleatoria X tomaría valor uno para los elementos del subconjunto E del espacio muestralS definido como:

\[{\large E = \{A_1\overline{A_2},\overline{A_1}A_2\} }\]

En el ejemplo que acabamos de analizar, la variable aleatoria solo podía adoptar tres valores. Sin embargo, otros experimentos, como por ejemplo registrar la estatura de una persona, pueden ofrecernos, en teoría, infinitos resultados posibles.

Observamos entonces que las variables aleatorias podrán clasificarse en dos categorías, en función del número de valores que puedan adoptar.

El experimento que acabamos de proponer se caracteriza por lo siguiente:

1. En los tres casos, lanzamos una moneda al aire.
2. El resultado de cada lanzamiento tiene solo dos resultados posibles.
3. El resultado de cada lanzamiento es independiente del que se obtuviera en el o los anteriores.
4. La probabilidad de obtener cara es la misma en cada uno de los lanzamientos.

Definamos como variable aleatoria X a la cantidad de veces que se puede obtener cara cada vez que se lleva a cabo el experimento y expresemos como Ca al caso de obtener “cara” en un lanzamiento y como Ce al caso de obtener “ceca”. El diagrama de la imagen 5.3, entonces, nos permite calcular la probabilidad correspondiente a cada uno de los posibles valores de X. Estos serán cero (ninguna cara), uno (una cara y dos cecas), dos (dos caras y una ceca) y tres (obtener cara en cada uno de los tres lanzamientos).

La tabla de distribución de probabilidades correspondiente será entonces la que reproducimos bajo estas líneas:

El experimento que acabamos de analizar resulta ser un clásico ejemplo de lo que se denomina un experimento binomial, cuyas características se detallan en la siguiente sección.

Supongamos ahora que nos interesa saber cuál es la probabilidad de que exista un determinado número de bacterias en un volumen dado de una sustancia orgánica líquida. O que queremos estimar la probabilidad de que, en un cierto período de tiempo, se desintegre una cantidad especificada de partículas.

Estamos entonces observando la probabilidad de ocurrencia de un suceso dado en un volumen dado o dentro de un cierto intervalo de tiempo, es decir, dentro de un continuo.

En estos casos aplicaremos otro tipo de distribución, que recibe el nombre de distribución de Poisson (en honor al matemático francés Simeón Denis Poisson). En ella la variable aleatoria indica el número de éxitos por unidad de medida (ya sea longitud, superficie, volumen o tiempo) y el parámetro (que es un número real positivo y se expresa comúnmente con la letra griega lambda, λ) representa justamente al número de ocurrencias dentro de dicha unidad de medida.

Las características  condiciones que debe cumplir entonces un proceso de Poisson son las siguientes:

1. En intervalos de igual tamaño del continuo en cuestión, el promedio del número de ocurrencias debe ser el mismo.
2. La probabilidad de sucesos en diferentes intervalos resulta ser independiente.

La función de distribución de probabilidades correspondiente a este tipo de distribución tiene la forma:

\[ {\Large P(k) = p(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \text{ con k } = 0,1,2,\cdots}\]

Para ejemplificar todo lo dicho hasta el momento, supongamos que ante una muestra de sustancia radioactiva dada, un contador Geiger detecta un promedio de cinco partículas en un minuto. Nos proponemos calcular la probabilidad de que en un minuto dado se detecten solo tres partículas.

El parámetro correspondiente a nuestro problema será λ = 5 (número  de partículas que en promedio se detectan en un minuto) y el valor de la variable aleatoria deberá ser tres (cantidad de partículas que se estiman para el intervalo de tiempo). Entonces:

\[{\Large P(X=3) = \frac{e^{-5}5^3}{3!} = 0,14037}\]

ste valor puede verificarse gracias a las funciones presentes en nuestra planilla de cálculo. Para ello, comenzamos seleccionando la función POISSON, como se observa en la imagen 5.12

Una vez que hacemos clic en “Aceptar”, aparece la ventana que se observa en la imagen 5.13. Debemos entonces ingresar el valor de la variable aleatoria y el valor del parámetro (que en la ventana aparece indicado como “media”). Tal como nos sucediera con la ventana correspondiente a la distribución binomial, debemos, en último lugar, escribir “falso” en el casillero correspondiente a “Acumulado”, de modo de obtener la probabilidad de que se detecten exactamente tres partículas. De escribir “verdadero”, el resultado obtenido correspondería a la probabilidad de detectar tres o menos partículas durante un minuto (imagen 5.14).

También podemos emplear el GeoGebra para responder a la consigna del problema planteado. En la imagen 5.15 se observa el diagrama de distribución de probabilidades junto con la correspondiente tabla, tal como sucedía para la distribución binomial. Aquí solo basta con indicar el valor del parámetro (que nuevamente aparece indicado como media, expresada con la letra \(\mu\)). En la tabla del extremo derecho, en correspondencia con el valor de la variable aleatoria k = 3, se verifica el valor de la probabilidad que habíamos obtenido previamente con la planilla de cálculo. Por otro lado, en el extremo inferior de la imagen se observa la probabilidad acumulada, cuyo valor permite verificar además el resultado obtenido según lo que se observa en la imagen 5.14. 

¿Qué sucedería ahora si nos preguntáramos cuál es la probabilidad de que nuestro contador Geiger detecte diez partículas durante un intervalo de tiempo de tres minutos?

Teniendo en cuenta las características de esta distribución, recomendamos considerar que nuestra nueva unidad de tiempo son esos tres minutos y que, en intervalos de igual tamaño del continuo en cuestión, el promedio del número de ocurrencias debe ser el mismo. Basta con multiplicar por tres (minutos) el número de ocurrencia conocido. De este modo, el parámetro característico lambda adopta para el problema valor 15.

En la imagen 5.16 se obtuvo el resultado del problema empleando la planilla de cálculo. Dicho valor se puede verificar empleando el GeoGebra, tal como se observa en la imagen 5.17.

Es frecuente encontrarse con problemas en los cuales la distribución de probabilidades adecuada resulta ser la binomial, pero el número de veces que se repite el experimento resulte ser muy grande.

Por ejemplo, la probabilidad de que una persona sufra una leve inflamación cutánea al inyectársele una determinada vacuna vale 0,001. Se desea conocer cuál es la probabilidad de que exactamente dos personas, de un total de quinientas a las que lesfuera suministrada dicha vacuna, pudiesen presentar inflamación cutánea.

Puesto que la probabilidad de que una persona sufra alguna reacción nociva es independiente de lo que pueda sucederle a otra y que la probabilidad de ocurrencia es la misma para todas las personas, el fenómeno debe estudiarse a partir de una distribución de tipo binomial. Se considera como éxito el hecho de que una persona se vea afectada ante la inoculación (convengamos que el sentido del éxito en este tipo de experimento es puramente matemático y carece de relación alguna con lo que pudiera indicar el sentido común).

Determinar entonces cuántas de las 500 personas podrían ser afectadas se reduce a repetir 500 veces el experimento de determinar si una persona dada sufre o no efectos indeseados, considerando que si ello sucede el experimento es exitoso. Entonces, el cálculo que debemos llevar a cabo es el siguiente:

\[{\large P(X=2) = \left( \begin{matrix}500\\2\end{matrix} \right) 0,001^2(1-0,001)^{498} = \frac{500!}{2!498!}0,001^20,999^{498} }\]

Aun cuando en el cálculo en forma manual del resultado pudieran aplicarse las propiedades de los factoriales para simplificar la expresión, se buscó un camino alternativo para la resolución, a partir de que puede demostrarse que:

\[{\Large \begin{matrix}\text{lim } n \to \infty \\p \to 0\\np \to \lambda \end{matrix} \left( ^n_k \right) p^k(1-p)^{n-k} = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} }\]

Es decir, si el número de experimentos que se llevan a cabo es muy grande y la probabilidad de ocurrencia es muy pequeña, la distribución binomial puede asimilarse a una de tipo Poisson, en la que el parámetro lambda no es otra cosa que la media, es decir, el producto entre el número de experimentos (o tamaño de la muestra adoptada) y la probabilidad de éxito.

Así, en nuestro caso:

\[{\large P(X=2) = \left( \begin{matrix}500\\2\end{matrix} \right) 0,001^2(1-0,001)^{498} \cong P(Y=2) = \frac{e^{-0,5}0,5^2}{2!} }\]

Obsérvese que hemos utilizado dos variables aleatorias distintas, X e Y. Ello se debe a que la primera se corresponde con la distribución binomial original, en tanto que la segunda está vinculada con la distribución de Poisson que empleamos como alternativa.

En las imágenes 5.19 y 5.20 reproducimos los resultados obtenidos aplicando la distribución binomial y la de Poisson, respectivamente, para resolver nuestro problema. Obsérvese que los resultados no difieren en forma significativa.

Aun cuando al efectuar el cálculo empleando software evitamos las complicaciones del cálculo manual, consideramos oportuno que el alumno sea capaz de aplicar la aproximación descripta en este apartado.