Análisis descriptivos bivariados

En muchos estudios estadísticos se analizan simultáneamente dos o más variables. En algunos de ellos se trata de determinar si existe o no relación entre ellas y, en caso afirmativo, cuál es el tipo de relación que las vincula.

Los datos bivariados pueden expresarse como un conjunto de pares ordenados (x,y). En la imagen 3.1 reproducimos los datos de un estudio llevado a cabo con una pequeña muestra, en la que se consignan la cantidad de horas que cada estudiante empleó para la preparación de un examen (que se representa con la variable x) y la calificación obtenida por el estudiante, a la que se le asigna la variable y. El par ordenado (22,8) indicaría entonces que un estudiante dado dedicó  22 horas a la preparación del  examen, obteniendo como calificación 8 puntos.

Aun cuando entre dos variables dadas pueden existir distintos tipos de relaciones, en la presente unidad pondremos particular énfasis en las de tipo lineal, es decir, aquellas que presentan una proporcionalidad directa entre las variables involucradas y que, por esa razón, pueden representarse gráficamente mediante una recta.

En este tipo de relación, cuando la variable y adopte valores mayores a medida que crezcan los valores de x, diremos que la dependencia entre ambas variables es positiva. Si, en cambio, a medida que x adopta valores cada vez más grandes se observa que los valores de la variable y disminuyen, decimos que la dependencia entre ambas variables es negativa.

Una medida que nos permite determinar si dicha dependencia lineal existe o no es la covarianza muestral, que se obtiene como

(3.1)\[{\large cov (x, y) = S_{xy} = \frac {\sum^n_{i=1} (x_i - \overline{x}) (y_i - \overline{y})}{n - 1}}\]

En la expresión, x_i e y_i representan los valores de cada una de las variables en una de las mediciones, en tanto que \(\overline {x}\) e \(\overline {y}\)  son las medias de cada una de dichas variables, para una muestra de tamaño n.

Vamos a determinar si existe o no una relación directa entre las variables “cantidad de horas dedicadas al estudio” y “calificación obtenida” a partir de los datos que figuran en la tabla de laimagen 3.1. Utilizaremos una planilla de cálculo para ver de qué modo se aplica la expresión (3.1) en este tipo de problema. Como se observa en la imagen 3.2, una vez que los datos fueron volcados a la planilla de cálculo, procedemos a obtener las medias de cada una de las variables, utilizando para ello la función PROMEDIO.

Seguidamente calculamos la diferencia entre cada uno de los valores de las variables y el promedio de cada una de ellas, como se observa en la imagen 3.3.

En la columna F multiplicaremos para cada una de las muestras las diferencias que aparecen en las columnas D y E (imagen 3.4), para luego obtener la suma de todos esos productos (mediante la instrucción SUMA, tal como puede observarse en la imagen 3.5). Dividiendo a dicha suma por el tamaño de la muestra disminuido en una unidad, tal como lo indica la expresión (3.1), obtenemos finalmente la covarianza (imagen 3.6).

Se observa en la casilla F12 de la imagen 3.6 que el valor de la covarianza obtenido es distinto de cero y positivo. Ello indica que la dependencia entre ambas variables es positiva (es decir, ambas aumentan o disminuyen simultáneamente).  

Por otro lado, el resultado obtenido no es próximo a cero, lo que confirma la existencia de una relación lineal entre ambas variables.

Definimos como análisis de regresión al método empleado en Estadística para estudiar la relación entre dos o más variables y predecir el valor de una de ellas a partir de la relación existente entre ambas.

Por ejemplo, cuando el coeficiente de Pearson sea muy próximo a uno (o a menos uno), podemos buscar una recta cercana a los puntos del diagrama de dispersión que refleje el tipo de relación entre ambas variables.

Para esta recta, la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos del diagrama de dispersión y la propia recta debe ser mínima. El procedimiento para determinar la recta de mejor ajuste recibe por ello el nombre de método de los cuadrados mínimos y nos permitirá  obtener, de todas las posibles rectas que puedan dibujarse a partir del diagrama de dispersión, aquella que cumpla la condición planteada al comenzar el presente párrafo.

Seguidamente, nos proponemos deducir las expresiones que habrán de permitirnos calcular la pendiente(a) y la ordenada al origen (b)  de la recta de regresión, cuya ecuación tendrá entonces la forma y = a.x+b.

Expresando como (x_i, y_i)  a cada uno de los pares ordenados que contienen a los valores medidos, y como \(( x_i, \hat{y}_i)\)  a los pares ordenados donde la segunda de las coordenadas corresponde al valor estimado de la variable, el error que se comete para cada una de dichas mediciones habrá de expresarse como

(3.5)\[{\large e_i = y_i - \hat{y}_i }\]

Puesto que los \(( x_i, \hat{y}_i)\) deben pertenecer a la recta, deberá verificarse para cada uno de ellos la igualdad:

(3.6)\[{\large \hat{y}_i = ax_i + b }\]

En la imagen 3.13 pueden observarse un diagrama de dispersión construido a partir de cuatro puntos, con su respectiva recta de regresión. Hemos señalado claramente las diferencias entre los valores medidos y estimados para cada uno de esos puntos.

En la sumatoria

(3.7)\[{\large \sum^4_{i=1} e_i = (y_1 - \hat{y}_1) + (y_2 - \hat{y}_2) + (y_3 - \hat{y}_3) + (y_4 - \hat{y}_4) }\]

se produce un efecto de compensación que se refleja en el resultado, que es cero. Ello habrá de cumplirse en todos los casos, lo que significa que la suma de los errores cometidos no resulta ser la expresión adecuada para nuestros fines.

Pero dicho efecto de compensación desaparece cuando sumamos los cuadrados de las diferencias entre los valores medidos y los estimados, es decir:

(3.8)\[{\large \sum e^2_i = (y_1 - \hat{y}_1)^2 + (y_2 - \hat{y}_2)^2 + (y_3 - \hat{y}_3)^2 + (y_4 - \hat{y}_4)^2 } \]

Nuestro objetivo, entonces, es minimizar \(\sum e^2_i\). Si operamos con las expresiones (3.5) y (3.6) obtenemos:

(3.9)\[{\large e_i = y_i - (ax_i + b) } \]

Definimos entonces la función D(a,b) como:

(3.10)\[{\large D (a, b) = \sum^n_{i=1} e^2_1 = \sum^n_{i=1} (y_1 - ax_i - b)^2 } \]

Calculamos las derivadas parciales respecto de las variables a y b para igualarlas a cero y encontrar los puntos críticos:

(3.11)\[{\large \frac {\delta D}{\delta a} = 2\sum^n_{i=1} (y_1 - ax_i - b)(-x_i) = 0 } \]

(3.12)\[{\large \frac {\delta D}{\delta b} = 2\sum^n_{i=1} (y_1 - ax_i - b)(-1) = 0 } \]

Operando, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

(3.13)\[{\large \sum^n_{i=1} (x_i \text{ }y_i - ax^2_i - bx_i) = 0 } \]

(3.14)\[{\large \sum^n_{i=1} (y_i - ax_i - b) = 0 } \]

De la (3.13):

(3.15)\[\sum^n_{i=1} x_i y_i - a \sum^n_{i=1} x^2_1 - b \sum^n_{i=1} x_i = 0 \to a \sum^n_{i=1} x^2_i + b \sum^n_{i=1} x_i = \sum^n_{i=1} x_i y_i \]

De la (3.14):

(3.16)\[\sum^n_{i=1} y_i - a \sum^n_{i=1} x_1 - nb = 0 \to a \sum^n_{i=1} x_i + nb = \sum^n_{i=1} y_i \]

Las ecuaciones (3.15) y (3.16) conforman un sistema que habremos de resolver por la Regla de Cramer para obtener el valor de a:

(3.17)\[ {\Large a = \frac {\left| \begin{array}{cc} \sum^n_{i=1} x_iy_i & \sum^n_{i=1} x_i\\ \sum^n_{i=1} y_i & n \end{array}\right|} {\left| \begin{array}{cc} \sum^n_{i=1} x^2_i & \sum^n_{i=1} x_i\\ \sum^n_{i=1} x_i & n \end{array}\right|} = \frac {n \sum^n_{i=1} x_iy_i - \sum^n_{i=1} x_i \sum^n_{i=1} y_i} {n \sum^n_{i=1} x^2_i - (\sum^n_{i=1} x_i)^2} } \]

En lo que respecta al valor de b, para obtenerlo bastará con tener en cuenta que

\[{\large \overline{y} = a \overline{x} + b \to b = \overline{y} - a \overline{x} } \]

En la imagen 3.14 reproducimos la tabla correspondiente a una muestra en la que se midieron dos variables que, suponemos, presentan dependencia lineal entre sí.

El coeficiente de Pearson resulta ser muy próximo a uno, tal como puede observarse en la imagen 3.15. Allí también se muestra la ventana que abrimos para el cálculo de dicho coeficiente.

Si con el cursor nos apoyamos en cualquiera de los puntos del diagrama de dispersión y hacemos clic con botón derecho sobre él, se abre otra ventana, como se observa en la imagen 3.17. En esta última ventana debemos seleccionar “Agregar línea de tendencia”.

Se abre una nueva ventana, en la cual, por default, aparece seleccionada la tendencia lineal. Recomendamos hacer clic en “Presentar ecuación en gráfico”, como se observa en la imagen 3.18, para obtener automáticamente la recta de regresión.

Finalmente, en la imagen 3.19 presentamos la recta de regresión.  Obsérvese que en el extremo superior derecho de la curva aparece la ecuación de dicha recta.

El software nos permite, además,  obtener curvas de ajuste no lineales. En la imagen 3.20 mostramos nuevamente la ventana que reprodujimos en la imagen 3.18; pero en esta oportunidad, seleccionamos línea de tendencia polinómica.

En la imagen 3.21 vemos la curva de tendencia parabólica obtenida mediante el software.

En busca de la  mejor curva de ajuste para nuestra muestra, seleccionamos finalmente curva exponencial. La curva correspondiente aparece en la imagen 3.22.

Finalmente, en la imagen 3.23 reproducimos las tres curvas de ajuste obtenidas. El investigador experimentado podrá aplicar su criterio para decidir cuál de las obtenidas resulta la más adecuada. Sin embargo, a simple vista se observa que, aun cuando el coeficiente de Pearson resultaba muy próximo a la unidad, cualquiera de las otras dos curvas parece ajustarse mejor que la lineal a nuestra muestra.