5. Integración, métodos y aplicaciones

Si se desea calcular la integral indefinida \(\int{x\ \left(3x^2+2\right)^3dx}\), en este caso se tiene un producto de funciones, pero este producto tiene una particularidad: la función \(\left(3x^2+2\right)^3\) es una composición de funciones \(f\left(g\left(x\right)\right)\) y la función x que aparece a la izquierda del paréntesis de la integral deseada, es la sexta parte de la derivada de \(g\left(x\right)\). Entonces, se tiene un producto donde una de las funciones es una composición y la otra es la derivada de la función de adentro de la composición multiplicada por una constante. Para poder integrar este tipo de producto se recurre a la regla de la cadena, donde:

\[\left(f\ o\ g\right)\ \prime\ \left(x\right)= f\ \prime\ \left(g\left(x\right)\right)\ g\ \prime\ \left(x\right)\]

con lo cual al integrar toda la ecuación se obtiene:

\[\int{\left(f\ o\ g\right)\ \prime\ \left(x\right)\ dx}=\int{\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)\ \prime\ dx}=\int{f\ \prime\ \left(g\left(x\right)\right)\ g\ \prime\ \left(x\right)\ dx} \]

Aquí podemos realizar el reemplazo \(u\ =\ g\left(x\right)\) y también \(du=g\ \prime\left(x\right)dx\) y resulta \(\ f\left(u\right)=f\left(g\left(x\right)\right)\) y \(f\ \prime\ \left(u\right)=f\ \prime\ \left(g\left(x\right)\right)\)

De esta forma se puede pasar a calcular simplemente la primitiva de 

\[\int{f\ \prime\ \left(g\left(x\right)\right)\ g\ \prime\ \left(x\right)\ dx}=\ \int{f\ \prime\ \left(u\right)\ du}=f\left(u\right)+\ C\ =f\left(g\left(x\right)\right)\ +\ C\ \]

Se desea calcular la integral de la función \(\int{ln\left(x\right)x^2dx}\). En este caso no tenemos una composición sino un producto de funciones sin composición por lo que no corresponde usar el método anterior. Por eso, y recordando que la derivada de un producto es:

\[\left(f\ .\ \ g\right)\ \prime\ \left(x\right)= f\ \prime\left(x\right)\ \ g\left(x\right)\ +f\left(x\right)\ \ g\ \prime\left(x\right)\]

Al integrar toda la ecuación se obtiene:

\[\begin{eqnarray} \int{\left(f\ .\ \ g\right)\ \prime\ \left(x\right)\ dx}\ = \int f\left(\ \prime\left(x\right)\ \ g\left(x\right)\ +f\left(x\right)\ \ g\ \prime\left(x\right)\right)dx= \nonumber\\ \int{f\ \prime\left(x\right)\ \ g\left(x\right)\ \ dx}\ +\int{f\left(x\right)\ \ g\ \prime\left(x\right)\ \ dx} \end{eqnarray}\]

Del lado izquierdo tenemos la integral de la derivada de una función, que nos da la misma función con lo que resulta:

\[\small f\left(x\right)\ .\ \ g\left(x\right)\ =\int{f\ \prime\left(x\right)\ \ g\left(x\right)\ \ dx}\ +\int{f\left(x\right)\ \ g\ \prime\left(x\right)\ \ dx}\]

Aquí podemos despejar una de las integrales del segundo término, si pasamos la otra al primer miembro de la identidad:

\[\small f\left(x\right)\ .\ \ g\left(x\right)\ -\int{f\ \prime\left(x\right)\ \ g\left(x\right)\ \ dx}\ =\int{f\left(x\right)\ \ g\ \prime\left(x\right)\ \ dx}\]

De esta manera, al calcular una integral producto entre dos funciones, se puede reemplazar por el cálculo de otra integral diferente.

\[\small \int{f\left(x\right)\ \ g\ \prime\left(x\right)\ \ dx}= f\left(x\right)\ .\ \ g\left(x\right)\ -\int{f\ \prime\left(x\right)\ \ g\left(x\right)\ \ dx}\]

Donde debemos buscar que la segunda integral. Lo que se busca es que sea más fácil de integrar con la derivada de \(f\left(x\right)\) que lo que resulta en la integral de la izquierda.

Veamos como lo aplicamos en la integral buscada, \(\int{ln\left(x\right)x^2dx}\).

Aquí sería mejor que en lugar de aparecer la función \(ln\left(x\right)\) en la integral, nos apareciera su derivada \(1/x\).

De esta manera tomamos en el método de integración por partes donde teníamos

\[\int{f\left(x\right)\ \ g\ \prime\left(x\right)\ \ dx}= f\left(x\right)\ .\ \ g\left(x\right)\ -\int{f\ \prime\left(x\right)\ \ g\left(x\right)\ \ dx}\]

\[f\left(x\right)=ln\left(x\right)\ \ \ g\ \prime\left(x\right)=x^2\]

Con ellas podemos calcular

\[f\ \prime\left(x\right)=\frac{1}{x}\ \ \ g\left(x\right)=\frac{x^3}{3}\]

De esta forma se puede calcular la integral anterior haciendo:

\[\int{f\left(x\right)\ \ g\ \prime\left(x\right)\ \ dx}=f\left(x\right)\ .\ \ g\left(x\right)\ -\int{f\ \prime\left(x\right)\ \ g\left(x\right)\ \ dx}\]

\[\int{ln\left(x\right)x^2dx}=ln\left(x\right)\frac{x^3}{3}-\int{\frac{1}{x}\frac{x^3}{3}dx}\]

Donde en la integral de la derecha podemos simplificar la fracción. Y resulta así una función más simple de integrar que la original:

\[\int{ln\left(x\right)x^2dx}=ln\left(x\right)\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}\int{x^2dx}\]

Integrando la función cuadrática del segundo término resulta:

\[\int{ln\left(x\right)x^2dx}=ln\left(x\right)\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}\frac{x^3}{3}+\ C \]

\[\int{ln\left(x\right)x^2dx}=\frac{x^3}{3}\left(ln\left(x\right)-\frac{1}{3}\right)+\ C \]

Resta la verificación: como siempre, se debe derivar la primitiva encontrada y obtener la función que se deseaba integrar al inicio del problema.

\[\left(\frac{x^3}{3}\left(ln\left(x\right)-\frac{1}{3}\right)+\ C\right)\ \prime= \frac{3x^{3-1}}{3}\left(ln\left(x\right)-\frac{1}{3}\right)+\frac{x^3}{3}\left(\frac{1}{x}-0\right)+0\]

\[\left(\frac{x^3}{3}\left(ln\left(x\right)-\frac{1}{3}\right)+\ C\right)\ \prime=x^2\left(ln\left(x\right)-\frac{1}{3}\right)+\frac{x^3}{3x}\\ =x^2ln\left(x\right)-\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{3}=x^2ln\left(x\right)\]

Al haber obtenido la función que teníamos que integrar, con lo que se verifica que el resultado es correcto.

Las empresas pueden conocer el costo marginal \(C_m\left(q\right)\) de producir una unidad \(q\) más que las que fabrican actualmente. Como sabemos que el costo marginal es la derivada del costo total,

\[C_m\left(q\right)=\frac{dC_T\left(q\right)}{dq} \]

Luego la integral de la función de costo marginal nos permite obtener el costo total, su integral indefinida o primitiva, a menos de un valor constante:

\[C_T\left(q\right)=\int{C_m\left(q\right)dq} \]

Como ejemplo consideremos el caso \(C_m\left(q\right)=\ 7q+4\) . Para este caso integrando obtenemos:

\[C_T\left(q\right)=\int{C_m\left(q\right)dq}=\int\left(7q+4\right)dq=7\frac{q^2}{2}+4q+c\]

De esta manera, podemos calcular el costo total a menos de una constante que queda indeterminada. Decimos que los términos que dependen de la variable \(q\), \(7\frac{q^2}{2}+4q\), corresponden al costo variable, mientras que la constante indeterminada corresponderá a los costos fijos de producción.

Como vimos en el apartado 5.2, si se conocen lo que llamamos las condiciones iniciales - que en este caso sería un valor conocido de la función de costo total- podremos obtener el valor de la constante que aquí quedó indeterminada.

De forma similar podemos a partir del conocimiento de los ingresos marginales, \(I_m\left(q\right)\), calcular los ingresos totales \(I_m\left(q\right)\)

\[I\left(q\right)=\frac{dI_T\left(q\right)}{dq}\]

Luego la integral de la función de ingreso marginal nos permite obtener el ingreso total, su integral indefinida o primitiva, a menos de un valor constante:

\[I_T\left(q\right)=\int{I_m\left(q\right)dq}\]

En el caso de los ingresos de una empresa, la constante de integración correspondería a todos los ingresos que no dependan de la cantidad producida y vendida. Por ejemplo, alquileres de propiedades, regalías por patentes o franquicias.

En algunos problemas económicos, interviene el cálculo de áreas, por lo que se aplica lo estudiado hasta acá.

Ése es el caso del cálculo del excedente del consumidor y del productor. Son conceptos de la Teoría Marginalista, bastante discutidos, pero que aplican ideas matemáticas a los problemas económicos.

Gráficamente se trata de la siguiente situación:

En el gráfico se representaron las curvas de oferta y de demanda, y se indicó el punto de equilibrio del mercado. En ambas curvas, la variable independiente es el precio. Sin embargo, se graficó en el eje horizontal a las cantidades, como es habitual en los estudios de Economía.

En celeste, se sombreó el área que corresponde al excedente del consumidor. Está delimitada por la curva de demanda, graficada en verde, su límite inferior es la recta correspondiente al precio de equilibrio del mercado y verticalmente, va desde 0 hasta la cantidad de equilibrio. En fórmulas, es:

\[EC=\int_{0}^{QE}{\left(D-PE\right)\ dq}\]

Es importante notar que dq indica que la variable a integrar es q, que representa a las cantidades, tanto ofrecidas como demandadas.

En el gráfico siguiente se representa al excedente del productor. El gráfico es el mismo que el anterior, pero en esta nueva situación, el área es la que está comprendida entre la recta correspondiente al precio de equilibrio del mercado y la curva de oferta. Y verticalmente, va desde 0 hasta la cantidad de equilibrio. El excedente del productor también está sombreado en celeste y su fórmula es:

\[EP=\int_{0}^{QE}{\left(PE-O\right)\ dq}\]

Aquí también, la variable a integrar es \(q\).

A continuación, se presentan ejemplos del cálculo de Excedentes:

En el diagrama anterior, confeccionado con Geogebra, se aprecia que el punto de equilibrio de mercado es Precio \(p = 20\) y Cantidad \(q = 50\), indicado por la intersección de las rectas rojas. Sombreado en verde claro, se aprecia el excedente del consumidor, y en celeste, el excedente del productor.

Para buscar analíticamente, el punto de equilibrio del mercado se debe resolver la siguiente ecuación:

\[precio\ demanda=precio\ oferta\]

\[\frac{1400}{q+20}=\frac{1000}{100-q}\]

\[1400=\left(\frac{1000}{100-q}\right)\cdot\left(q+20\right)=\frac{1000\cdot q+20000}{100-q} \]

\[1400\cdot\left(100-q\right)=1000\cdot q+20000\]

\[140000-1400\cdot q=1000\cdot q+20000 \]

\[ 140000-20000=1000\cdot q+1400\cdot q=2400\]

\[\frac{120000}{2400}=q=50 \]

Con este resultado, se reemplaza q en cualquiera de las dos funciones y se obtiene el precio de equilibrio:

\[p=\frac{1000}{100-50}=\frac{1000}{50}=20\]

En el gráfico 5.10., se pintó de color verde el excedente del consumidor y celeste el excedente del productor.

Para calcular el primero, se deberá calcular el área bajo la curva de demanda menos el precio de equilibrio entre 0 y la cantidad de equilibrio, 50:

(1)\[\begin{eqnarray} Excedente\ del\ Consumidor\ =\int_{0}^{50}{\left(\frac{1400}{q+20}-20\right)dq=\nonumber\\ \int_{0}^{50}{\left(\frac{1400}{q+20}\right)dq-20\int_{0}^{50}{dq=}}}\end{eqnarray}\]

En este cálculo, aparece dq indicando que la variable a integrar es q. La resolución del segundo término es muy sencilla:

(2)\[20\int_{0}^{50}{dq=}20\cdot\left. q\right|_0^{50}=20\cdot\left(50-0\right)=1000\ \]

Para resolver el primer término, se utilizará el método de sustitución. Se llamará

\[u=q+20\]

Por lo tanto,

\[du=dq\]

Los extremos de integración se modifican debido al cambio de variable. Por eso, ahora serán: cuando

\[q=0\ \ será \ u=0+20=20\]

y cuando

\[q=50\ \ será \ u=50+20=70 \]

Ahora se reemplaza en (1) y se tiene:

\[\int_{20}^{70}{\frac{1400}{u}du=}1400\ \int_{20}^{70}{\frac{1}{u}\ du}=1400\cdot\left. \ln (u)\right|_{20}^{70} \]

Y ahora, se aplica la regla de Barrow:

(3)\[Área \ bajo \ la \ demanda=1400\cdot [ln (70) -ln (20)] ≈1753,87 \]

Finalmente para obtener el Excedente del Consumidor, se reemplazan los resultados (3) y (2) en la expresión (1):

\[Excedente\ del\ Consumidor\ =\ 1753,87-1000=753,87\]

El excedente del consumidor en este mercado es de $753,87 por cada producto.

Para calcular el Excedente del Productor, el celeste en el gráfico, se hace:

\[Excedente\ del\ productor=\int_{0}^{50}\left(20-\frac{1000}{100-q}\right)dq\\ = \int_{0}^{50}{20\ dq}-\int_{0}^{50}\left(\frac{1000}{100-q}\right)dq\ \]

(4)\[\ =20\int_{0}^{50}dq-\int_{0}^{50}\left(\frac{1000}{100-q}\right)dq\]

El primer término ya se resolvió en (2). Para calcular el segundo, nuevamente es necesario aplicar el método de sustitución. Se llamará

\[u=100-q\]

Por lo tanto,

\[du=-dq \]

entonces,

\[dq=-du \]

Los extremos de integración, ahora serán: cuando

\[q=0\ será \ u=100-0=100\]

y cuando

\[q=50\ será \ u=100-50=50 \]

A pesar de que el “extremo superior” ahora es un número más chico que el nuevo “extremo inferior”, es importante mantener el orden al reemplazar en (2):

\[Área\ bajo\ la\ curva\ de\ oferta =1000\cdot \int_{100}^{50}\left(\frac{-1}{u}\right)du\\ =-1000\cdot \int_{100}^{50} \frac{1}{u}du=-1000\cdot (ln\ u) |_{100}^{50} \]

Y ahora se aplica la regla de Barrow

(5)\[Área\ bajo\ la\ curva\ de\ oferta\ =-1000\cdot(ln 50 -ln 100) =693,15 \]

Para calcular el Excedente del productor solo falta reemplazar (2) y (5) en (4):

\[Excedente\ del\ Productor\ =\ 1000-693,15=306,85\]

Por lo tanto, el excedente del productor es $306,85 por cada producto.

Es importante notar que el precio de equilibrio de la situación anterior ya no es el precio de venta: a $50 se “vaciaba” el mercado interno: todas las personas que estaban dispuestas a comprar a ese precio podían hacerlo, y todo productor local que quisiera vender a ese precio conseguía vender. Pero al abrir el mercado al resto del mundo, habrá importaciones, porque el precio en el mercado internacional es menor. A ese nuevo precio, más personas querrán comprar. Pero menos productores locales podrán vender tan barato…

Por ese motivo, el excedente del consumidor aumenta y mientras disminuye el del productor. En estas circunstancias se destaca que el aumento en el excedente del consumidor es mayor que lo que disminuye el del productor. El “triángulo” comprendido entre la curva de oferta (en lila) y la de demanda (en verde), que se cruzan en el precio de equilibrio del mercado interno y el nuevo precio (representado por la recta roja) antes no formaba parte de ningún excedente, ni el del productor ni el del consumidor, y ahora se incorpora al del consumidor. En el siguiente gráfico se “agranda” esa zona, para que se vea mejor:

Asimismo, las cantidades demandadas y las ofrecidas por la industria local ya no serán las mismas.

La cantidad demandada está graficada ahora por una recta vertical negra. Y la cantidad ofrecida por la industria local, por una azul.

La diferencia entre esos dos valores indican las cantidades importadas.

Para calcular la cantidad demandada, se deberá reemplazar en la fórmula de la demanda, el nuevo precio y, a partir de allí, calcular la nueva cantidad demandada, lo que implica resolver la siguiente ecuación:

\[D\rightarrow p=\frac{1400}{q+20}=16 \]

\[1400=16\cdot\left(q+20\right) \] \[\frac{1400}{16}=q+20=\ 87,5 \]

\[q=87,5-20=67,5\]

Por lo tanto, la cantidad demandada es 67,5 unidades.

De la misma manera, se busca, con la función de oferta, la cantidad ofrecida por la industria local:

\[O\rightarrow p=\frac{1000}{100-q}=16 \]

\[1000=16\cdot\left(100-q\right)=16\cdot100-16\cdot q=1600-16\cdot q \]

\[16\cdot q=1600-1000=600 \]

\[q=\frac{600}{16}=37,5\]

Entonces, en estas circunstancias la industria local sólo ofrecerá 37,5 unidades.

La diferencia entre las cantidades demandadas y las ofrecidas por la industria local se importan. Por lo tanto, se importarán 30 unidades.

En esta nueva situación, el excedente del consumidor se calcula de la siguiente manera:

\[Excedente\ del\ Consumidor\ =\int_{0}^{67,5}{\left(\frac{1400}{q+20}-16\right)dq\\ =\int_{0}^{67,5}{\left(\frac{1400}{q+20}\right)dq-16\int_{0}^{67,5}dq}}\]

Aquí el extremo superior de integración es la nueva cantidad demandada, 67,5. Y el precio ya no es el de equilibrio del mercado interno ya que se habilitaron las importaciones, sino el precio del mercado internacional más impuestos.

Asimismo, el excedente del productor será:

\[Excedente\ del\ productor=\int_{0}^{37,5}\left(16-\frac{1000}{100-q}\right)dq\\ =\int_{0}^{37,5}{16\ dq}-\int_{0}^{37,5}\left(\frac{1000}{100-q}\right)dq\ \]

Otra vez, al precio de mercado (ahora $16) se le resta la función de oferta. Pero el extremo superior de integración cambió: en este caso corresponde a la cantidad ofrecida localmente.

Como puede apreciarse, el excedente del consumidor aumentó de $753,87 a $986,27 por cada producto. Es decir: $232,40 por producto consumido. Mientras que el excedente del productor disminuyó de $306,85 a $170 por cada producto. Disminuyó en $ 136,85 por producto. O sea, el aumento del excedente del consumidor es mayor que la disminución del excedente del productor.