1. Funciones de una variable

Las funciones polinómicas de grado dos, también llamadas “funciones cuadráticas” son aquellas cuya regla de asignación tiene la forma:

f(x) = a · x² + b · x + c

Los números a, b y c son números reales cualesquiera, pero a debe ser distinto de cero: ¿por qué? (Respuesta: si fuera cero, se trataría de una recta, y no de una función cuadrática).

En el siguiente gráfico, construido con Geogebra, se puede variar el valor de a, moviendo el “deslizador” de color azul que se encuentra arriba, a la derecha. Para cada valor de a, se grafica una función cuadrática distinta, en este caso, tanto b como c son cero ya que se desea observar qué sucede al variar a.

Como se puede apreciar, la representación gráfica es una parábola.

1. 1. Todas las parábolas con a > 0 tienen forma de \( \cup \). Se dice que estas parábolas son “convexas”.
   2. Todas las parábolas con a < 0 tienen forma de \( \cap \). Se dice que son “cóncavas”.



2. Estas dos funciones tienen gráficos “simétricos” respecto del eje x.

   Esto significa que si se grafica f(x) = 3,5x² en un papel con tinta y, mientras la tinta está fresca se dobla el papel por el eje x, la mancha que se produce corresponde a la gráfica de f(x) = -3,5x². La situación sería la siguiente:

   

   Esto sucede con todos los pares de parábolas en las que los correspondientes valores de a son opuestos: sus gráficas son simétricas respecto del eje x.

   Además, todas las parábolas son “simétricas” respecto del eje vertical que pasa por su vértice.




3. La función f(x) = 4x² tiene una forma de \( \cup \) más “cerrada” que f(x) = 1x² . En general, cuanto más grande es el módulo de a, el gráfico de la parábola es más “cerrada”.




4. Todas las parábolas con a > 0 crecen en el intervalo \( ( 0 ; \infty )\) y decrecen en el intervalo \( ( - \infty ; 0 )\).

   Todas las parábolas con a < 0 crecen en el intervalo \( ( - \infty ; 0 )\) y decrecen en el intervalo \( ( 0 ; \infty )\).

   El punto (0; 0) en todas estas parábolas, es el vértice. En las que presentan a > 0, este punto se trata de un mínimo. En las otras, de un máximo.

   En el gráfico siguiente, construido con Geogebra, se pueden modificar todos los valores de las constantes a, b y c. Como puede apreciarse, lo estudiado sobre la relación entre a y la concavidad o convexidad de la parábola vale aunque cambien b y c. Pero la posición del vértice y de las raíces de la función se modifica.

1. La abscisa del vértice de una parábola está dado por la siguiente fórmula:

\[ x_v = \frac {-b}{2a} \]

En este ejercicio, es:

\[ x_v = \frac {-b}{2a} \]

\[ x_v = \frac {-(-2)}{2 \cdot 2} = \frac {1}{2} \]

Para encontrar la ordenada, se reemplaza este valor en la fórmula de la función:

\[ f \left( \frac {1}{2} \right) = 2 \cdot \left( \frac {1}{2} \right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} - 4 = - \frac {9}{2} \]

Por lo tanto, el vértice de f(x) está en el punto \( \left( \frac{1}{2}; - \frac{9}{2} \right) )\). También se puede indicar utilizando números decimales: (0,5; -4,5).

Para encontrar sus raíces, se utiliza la fórmula de la resolvente de la ecuación de segundo grado:

2x² - 2x - 4 = 0

\[ x = \frac {-(-2) \pm \sqrt {(-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 6}{4} \]

Por lo tanto, resolviendo los cálculos, se tiene que las raíces son x₁ = -1 y x₂ = 2. Como se piden las coordenadas de las raíces, la respuesta es: (-1; 0) y (2; 0).

2. Para construir manualmente el gráfico, conviene comenzar por ubicar estos puntos que se encontraron en la parte a) y unirlos, teniendo en cuenta que las parábolas son “redondeadas” en su vértice:







3. La ecuación factorizada de una función polinómica tiene la forma:

f(x) = a_n · (x - x₁) · (x - x₂) · ... · (x - x_n)

Donde x₁, x₂, …, x_n son las raíces del polinomio.

De este modo, para la función del ejercicio, la ecuación factorizada será:

f(x) = 2 · [x - (-1)] · (x - 2) = 2 · (x + 1) · (x - 2)

La ecuación canónica de una parábola tiene la siguiente forma:

\[ f (x) = a \cdot (x - \alpha)^2 - \beta \]

Donde \( \alpha \) y \( \beta \) son, respectivamente, la abscisa y la ordenada del vértice.

Por eso, en la funciónN del ejercicio actual es:

\[ f (x) = 2 \cdot \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 - \left( - \frac{9}{2} \right) = 2 \cdot \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{9}{2} \]

4. En las abscisas de los puntos de intersección entre dos funciones, se obtendrá el mismo resultado con la cuenta f(x) como con la cuenta r(x). En símbolos, se puede expresar:

   f(x) = r(x)

   En este ejercicio, sería:

   2x² - 2x - 4 = 3x - 1

   Esta es una ecuación de grado dos. Para resolverla, se puede utilizar la fórmula de la resolvente. Pero antes, es necesario igualarla a cero:

   2x² - 2x - 4 - 3x + 1 = 0

   2x² - 5x - 3 = 0

   Ahora si:

   \[ x = \frac {-(-5) \pm \sqrt {(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac {5 \pm 7}{4} \]

   De este modo, se obtienen las dos abscisas, \( x_1 = \frac {-1}{2} \) y x₂ = 3, de los puntos de intersección buscados. Para encontrar las ordenadas correspondientes, se reemplazan estos valores en las fórmulas de las funciones. En ambas, se debe obtener el mismo resultado:

   Para \( x_1 = \frac {-1}{2} \text{ es } f \left( - \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right)^2 - 2 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) - 4 = - \frac {5}{2} \)

   Y \( r \left( - \frac{1}{2} \right) = 3 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) - 1 = - \frac{5}{2} \)

   Por lo tanto, uno de los puntos de intersección es \( \left( - \frac{1}{2} ; - \frac{5}{2} \right) \).

   Para x₂ = 3 es f(3) = 2 · (3)² - 2 · 3 - 4 = 8

   Y r(3) = 3 · 3 - 1 = 8

   El otro punto de intersección es (3; 8).

   Gráficamente se pueden obtener estos puntos representando la recta r(x) = 3x - 1 en el diagrama cartesiano realizado en el punto c):

   

Para construir manualmente un gráfico de una parábola, conviene encontrar las coordenadas del vértice y de las raíces.

En este caso, la abscisa del vértice será:

\[ x_v = \frac {-b}{2a} = \frac {-2}{2 \cdot 1} = -1 \]

Y su ordenada:

f (-1) = (-1)² + 2 · (-1) + 2 = 1

Por lo tanto, el vértice está en el punto (-1; 1).

Como a = 1 > 0, la parábola es convexa. Por ese motivo, el intervalo de decrecimiento será \( (- \infty ; -1) \) y el de crecimiento será \( (-1 ; - \infty) \).

Como la ordenada correspondiente a - 1 es 1, se deduce que esta parábola no tomará valores menores a 1. Entonces, no tendrá raíces.

Para poder graficar la función de este ejercicio, se puede considerar también el punto en que se interseca con el eje y:

f(0) = (0)² + 2 · (0) + 2 = 2

Por lo tanto, el punto (0; 2) también pertenece al gráfico.

Como todas las parábolas son “simétricas” respecto del eje vertical que pasa por su vértice, se puede ver que también pertenece al gráfico el punto (-2; 2), simétrico del anterior respecto del eje x = -1.

Con estos tres puntos, y considerando que las parábolas son “redondeadas” en su vértice, se puede construir el gráfico pedido:

En este diagrama se graficó en línea punteada el eje de simetría de la parábola.

Para hallar la función inversa, conviene escribir la función en su expresión canónica:

f(x) = x² + 2x + 2 = 1 · [x - (-1)]² + 1 = (x + 1)² + 1

De esta última expresión es más sencillo despejar la x:

y = (x + 1)² + 1

y - 1 = (x + 1)²

\[ \sqrt {y - 1} = x + 1 \]

\[ \sqrt {y - 1} - 1= x \]

Solo resta cambiar las variables:

\[ f ^{-1} (x) = \sqrt {x - 1} - 1 \]

Cuyo dominio es \( Dom = [1 ; \infty ) \). Es necesario considerar solamente el resultado positivo de la raíz para que f^-1(x) sea una función.

A lo largo del desarrollo de este material, se verán estrategias para facilitar la construcción de los gráficos de las funciones. De todos modos, siempre se pueden construir aproximadamente, utilizando una tabla de valores.

Como esta función es polinómica, su dominio son todos los números reales:

\[ Dom = \Re . \]

Para construir aproximadamente su gráfico con lápiz, regla y calculadora, se puede hacer una amplia tabla de valores:

Siguiendo esta explicación, ¿cómo explicaría qué es un “mínimo relativo”?

Respuesta: el punto (a; f(a)) es un mínimo relativo de la función f(x) si en las proximidades de x = a la función toma valores mayores o iguales a f(x), o sea, \( f (x) \geq f (a)\).

Las funciones racionales son aquellas cuya regla de asignación es el cociente entre dos polinomios:

\[ f (x) = \frac {P(x)}{Q(x)}\]

Como ya se estudió en el ejercicio 5, el dominio de las funciones polinómicas son todos los valores de x que no anulan al denominador.

Ya se conoce el dominio de esta función \( Dom = \Re - \{ 0 ; 2 \}\):

Como siempre, para graficar se puede construir una tabla de valores. En este caso, es interesante averiguar qué sucede en las proximidades de los puntos que hay que excluir del dominio:

1. La función f(x) =  1^x es una recta horizontal, ya que, para todo valor de x, 1^x = 1. Por eso, no se la considera una “función exponencial”.
2. Todos los gráficos de las funciones exponenciales tienen en común al punto (0; 1), ya que cualquier valor de \( a \neq 0 \) es \( a^0 = 1 \). Y, como ya se estudió en la definición de funciones exponenciales, la base de la función nunca es 0.
3. En todos los casos, y = 0 es asíntota horizontal de la función.

Ninguna función presenta extremos relativos.

En las próximas unidades se aprenderá cómo encontrar asíntotas verticales y horizontales.

Por el ejercicio anterior, ya se sabe que esta función es creciente, que pasa por el punto (0; 1) y que el eje horizontal es asíntota a izquierda.

Con esta información se pueden buscar algunos puntos más y graficar:

La función logarítmica en base a es la función inversa a la exponencial en base a:

\[ f(x) = log _ax \leftrightarrow x = a^{f(x)} \]

Por lo tanto, la base de los logaritmos debe cumplir las mismas restricciones que se le imponen a la base de las funciones exponenciales, es decir, \( a \in (0 ; \infty ) - \{ 1 \} \).

Como x es el resultado de una potencia, siempre será un número positivo. Por este motivo, el dominio de las funciones logarítmicas es:

\[ Dom = (0 ; \infty ) \]

1. Geogebra no grafica la función \( f(x) = log_1x \) ya que no es una función. Se trataría de la recta vertical de ecuación x = 1. En este ejercicio se aprecia por qué es importante recordar que la base de los logaritmos no puede ser 1.
2. Todos los gráficos de las funciones logarítmicas tienen en común al punto (1; 0).
3. En todos los casos, x = 0 es asíntota vertical de la función.

Ninguna función presenta extremos relativos.

En el ejercicio 24 ya se construyó el gráfico de g(x) = 2^x. Como los gráficos de las funciones inversas son simétricos respecto del eje y = x, basta buscar esa simetría para graficar:

Este ejercicio no es fácil de resolver con calculadora, ya que no tienen una tecla para calcular logaritmos en base 2.